向量内积、外积

操作	结果	返回类型	含义
点乘	点积=内积=数量积	标量	$\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影的乘积 $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的乘积
叉乘	叉积=外积=向量积	向量	$\vec{a}×\vec{b}$ 的方向与 $\vec{a}、\vec{b}$ 所在平面垂直

$\vec{a}= \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix}$ $\vec{b}= \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix}$

点乘

$\vec{a}·\vec{b} = |\vec{a}|·|\vec{b}|·cosθ$ $\vec{a}·\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

叉乘

$\vec{a}×\vec{b} = |\vec{a}|·|\vec{b}|·sinθ$ $\vec{a}×\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} \\=(y_1z_2 - y_2z_1)\vec{i}-(x_1z_2 - x_2z_1)\vec{j}+(x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k} \\= \begin{bmatrix} y_1z_2 - y_2z_1 & -(x_1z_2 - x_2z_1) & x_1y_2 - x_2y_1 \end{bmatrix}$

其中，

$\vec{i}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\quad \vec{j}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\quad \vec{k}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

空间平面、直线

平面

一般式

任一平面都可以用三元一次方程表示，得平面的一般式方程：

$Ax + By + Cz + D = 0$

点法式

已知：平面上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和法向量 $\vec{n}=[A,B,C]$
对平面上任一点 $M(x,y,z)$ ，有向量 $\vec{M_0M}⊥\vec{n}$ ，即 $\vec{M_0M}·\vec{n}=0$
代入坐标式，得平面的点法式方程：

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

截距式

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = 1$

两平面间的关系

设有两个平面：

$π_1:A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ $π_2:A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

有：

$π_1与π_2重合⇔\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$ $π_1与π_2平行⇔\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}≠\frac{D_1}{D_2}$ $π_1⊥π_2⇔A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$ $π_1与π_2相交⇔A_1:B_1:C_1≠A_2:B_2:C_2$ $π_1与π_2夹角cosθ=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$ $点P_0(x_0,y_0,z_0)到平面π_1的距离d=\frac{|A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}}$

直线

一般式

空间直线可看作两个平面的交线，得直线的一般式方程：

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$

点向式/对称式

已知：直线上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和方向向量 $\vec{s}=[m,n,p]$
对直线上任一点 $M(x,y,z)$ ，有向量 $\vec{M_0M}∥\vec{s}$
代入坐标式，得直线的点向式方程：

$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$

参数式

设点向式方程

$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} = t$

得直线的参数式方程（t为参数）：

$\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$

参考

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
 平面、空间直线及其方程